לאגאריטם

פֿון װיקיפּעדיע
שפּרינג צו: נאַוויגאַציע, זוכן
גראפיק וואס ווייזט א לאגאריטם קרומע, וואס גייט אריבער דער x-אַקס וואו x איז 1 און ציט זיך צו מינוס אין־סוף לענגאויס דער y-אַקס.
דער גראפיק פונעם לאגאריטם צו באזע 2 גייט אריבער דער x אַקס (האריזאנטאלע אַקס) ביי 1 און גייט אדורך די פונקטן מיט קאארדינאטן (2, 1), (4, 2), און (8, 3). צום ביישפיל, log2(8) = 3, ווייל 23 = 8. דער גראפיק ווערט וואס נענטער צו דער y אַקס, אבער דערגרייכט זי נישט און גייט נישט אריבער איר.

דער לאגאַריטם פון א נומער איז דער פאטענץ מיט וואס א געוויסער נומער, די באזע, דארף ווערן געהעכערט צו פראדוצירן יענעם נומער. למשל, דער לאגאריטם פון 1000 צו באזע 10 איז 3, ווייל 1000 איז 10 צום פאטענץ 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 103. בדרך כלל, אז x = by, דעמאלסט y איז דער לאגאריטם פון x צו באזע b, און מען שרייבט (y = logb(x. אין דעם פריערדיקן ביישפיל, log10(1000) = 3.

געזעצן פון לאגאריטמען[באַאַרבעטן | רעדאקטירן מקור]

די געזעצן אונטן האלטן פאר יעדער \ a, b, c וואס זענען פאזיטיווע רעאלע צאלן, אבער די באזע פון די לאגאריטמען קען נישט זיין 1. פראקטיש ניצט מען א באזע גרעסער פון 1.

באזונדערע ווערטן

\ \log _a (1)=0

\ \log _a (a)=1

טאפלונג, צעטיילונג און אויפהייבן צו א פאטענץ

די געזעצן מאכן גרינגער אויסרעכענען טאפלונג, צעטיילונג, פאטענצן און ווארצלען, דורך א טאבעלע פון לאגאריטמען אדער א רעכנווירע.

\ \log _c (a\cdot b) = \log _c (a) + \log _c (b)

\ \log _c \left(\frac{a}{b}\right) = \log _c (a) - \log _c (b)

\ {\log_a b}\cdot{\log_c d}={\log_c b}\cdot{\log_a d}

פאר יעדער רעאל \ r :

\ \log _c (a^r) = r\cdot \log _c (a)

לאגאריטם און די עקספאנענטיעלע פונקציע

מען ניצט די כללים צו לייזן גלייכונגען וואו דער אומבאשטימטער איז א פאטענץ.

\ x^{\log_a b}=b^{\log_a x}

\ a^{\log_a b}=b

פאר יעדער רעאל \ r:

\ \log_a a^r=r

עדערן די באזע פון א לאגאריטם

מען ניצט דעם כלל צו בייטן לאגאריטנמען אין א רעכנמאשינקע.
רוב רעכנמאשינקעס האבן קנעפלעך פארן נאטירלעכן לאגאריטם (ln) און פארן לאגאריטם צו באזע 10 (\ \log_{10}), אבער נישט פאר באזע 2 (\ \log_{2}).
כדי צו רעכענען \ \log_{2} 100, רעכנט מען \ \frac{\log_{10} 100}{\log_{10} 2} אדער \ \frac{\ln{100}}{\ln{2}}, וואס גיט דעם זעלבן רעזולטאט).

\ \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}

\ \log_a b=\frac{1}{\log_b a}

גרענעץ

ווען a > 1:

\ \lim_{x\to0} \log_a (x) = -\infty

ווען a < 1:

\ \lim_{x\to0} \log_a (x) = \infty

ווען a > 1:

\ \lim_{x\to\infty} \log_a (x) = \infty

ווען a < 1:

\ \lim_{x\to\infty} \log_a (x) = -\infty

\ \lim_{x\to0} \log_a (x) \cdot x^b = 0

\ \lim_{x\to\infty} \log_a (x) / x^b = 0

דעריוואטיוו

\ {d \over dx} \log_a (x) = {1 \over x \ln(a)} = {1 \over x} \cdot \log_a e

אינטעגראל

\ \int \log_a (x)\, dx = x \log_a (x) - \frac{x}{\ln(a)} + C