דער גראפיק פונעם לאגאריטם צו באזע 2 גייט אריבער דער x אַקסקאארדינאטן (2, 1) , (4, 2) , און (8, 3) . צום ביישפיל, log2 (8) = 3 , ווייל 23 = 8. דער גראפיק ווערט וואס נענטער צו דער y אַקס, אבער דערגרייכט זי נישט און גייט נישט אריבער איר. דער לאגאַריטם פון א נומער איז דער פאטענץ מיט וואס א געוויסער נומער, די באזע, דארף ווערן געהעכערט צו פראדוצירן יענעם נומער. למשל, דער לאגאריטם פון 1000 צו באזע 10 איז 3, ווייל 1000 איז 10 צום פאטענץ 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 103 . בדרך כלל, אז x = b y y איז דער לאגאריטם פון x צו באזע b , און מען שרייבט (y = logb x . אין דעם פריערדיקן ביישפיל, log10 (1000) = 3.
די געזעצן אונטן האלטן פאר יעדער
a
,
b
,
c
{\displaystyle \ a,b,c}
רעאלע צאלן , אבער די באזע פון די לאגאריטמען קען נישט זיין 1. פראקטיש ניצט מען א באזע גרעסער פון 1.
באזונדערע ווערטן
log
a
(
1
)
=
0
{\displaystyle \ \log _{a}(1)=0}
log
a
(
a
)
=
1
{\displaystyle \ \log _{a}(a)=1}
טאפלונג, צעטיילונג און אויפהייבן צו א פאטענץ
רעכנווירע .
log
c
(
a
⋅
b
)
=
log
c
(
a
)
+
log
c
(
b
)
{\displaystyle \ \log _{c}(a\cdot b)=\log _{c}(a)+\log _{c}(b)}
log
c
(
a
b
)
=
log
c
(
a
)
−
log
c
(
b
)
{\displaystyle \ \log _{c}\left({\frac {a}{b}}\right)=\log _{c}(a)-\log _{c}(b)}
log
a
b
⋅
log
c
d
=
log
c
b
⋅
log
a
d
{\displaystyle \ {\log _{a}b}\cdot {\log _{c}d}={\log _{c}b}\cdot {\log _{a}d}}
פאר יעדער
רעאל
r
{\displaystyle \ r}
:
log
c
(
a
r
)
=
r
⋅
log
c
(
a
)
{\displaystyle \ \log _{c}(a^{r})=r\cdot \log _{c}(a)}
לאגאריטם און די עקספאנענטיעלע פונקציע
x
log
a
b
=
b
log
a
x
{\displaystyle \ x^{\log _{a}b}=b^{\log _{a}x}}
a
log
a
b
=
b
{\displaystyle \ a^{\log _{a}b}=b}
פאר יעדער
רעאל
r
{\displaystyle \ r}
:
log
a
a
r
=
r
{\displaystyle \ \log _{a}a^{r}=r}
עדערן די באזע פון א לאגאריטם
log
10
{\displaystyle \ \log _{10}}
log
2
{\displaystyle \ \log _{2}}
log
2
100
{\displaystyle \ \log _{2}100}
log
10
100
log
10
2
{\displaystyle \ {\frac {\log _{10}100}{\log _{10}2}}}
ln
100
ln
2
{\displaystyle \ {\frac {\ln {100}}{\ln {2}}}}
log
a
b
=
log
c
b
log
c
a
{\displaystyle \ \log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}}
log
a
b
=
1
log
b
a
{\displaystyle \ \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}
גרענעץ
ווען a > 1:
lim
x
→
0
log
a
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \ \lim _{x\to 0}\log _{a}(x)=-\infty }
ווען a < 1:
lim
x
→
0
log
a
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \ \lim _{x\to 0}\log _{a}(x)=\infty }
ווען a > 1:
lim
x
→
∞
log
a
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \ \lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=\infty }
ווען a < 1:
lim
x
→
∞
log
a
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \ \lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=-\infty }
lim
x
→
0
log
a
(
x
)
⋅
x
b
=
0
{\displaystyle \ \lim _{x\to 0}\log _{a}(x)\cdot x^{b}=0}
lim
x
→
∞
log
a
(
x
)
/
x
b
=
0
{\displaystyle \ \lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)/x^{b}=0}
דעריוואטיוו
d
d
x
log
a
(
x
)
=
1
x
ln
(
a
)
=
1
x
⋅
log
a
e
{\displaystyle \ {d \over dx}\log _{a}(x)={1 \over x\ln(a)}={1 \over x}\cdot \log _{a}e}
אינטעגראל
∫
log
a
(
x
)
d
x
=
x
log
a
(
x
)
−
x
ln
(
a
)
+
C
{\displaystyle \ \int \log _{a}(x)\,dx=x\log _{a}(x)-{\frac {x}{\ln(a)}}+C}
