דעריוואטיוו

אַ פֿונקציע (שוואַרץ) מיט זײַן באַריר־לינע (רויט). דער באַרגנייג פֿון דער באַריר־לינע איז דער דעריוואַטיוו.

א דעריוואַטיוו פון אַ פֿונקציע איז דער באַרגנייג אויף דער באַריר־לינע בײַ א פֿונקט. א דעריוואַטיוו באַשרייבט די וואַקסיקייט פון אַ פֿונקציע. דער היפּוך פֿון א דעריוואַטיוו איז אַן אינטעגראל. דער דעריוואַטיוו ווערט געפֿונען געוויינטלעך אין מאַטעמאַטיק און פֿיזיק.

אין פֿיזיק, דער דעריוואַטיוו פֿון פּאָזיציע איז גיכקייט, און דער דעריוואַטיוו פֿון גיכקייט איז פֿאַרגיכערונג.

דעפֿיניציע

א שנײַדלינע ווערט א באריר-לינע ווען $\Delta x\to 0$.

דערמאַנט אַז די פֿונקציע פאַר אַ גראָדער ליניע איז $y(x)=ax+b$. דער וואַריאבל $a$ איז דער באַרגנייג פון דער לינע, ד"ה ווען $x_{1}\neq x_{2}$:

${\begin{aligned}a&={\frac {y(x_{2})-y(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\\&={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\end{aligned}}$

דעריבער א שנײַדלינע (secant) וואָס שנײַדט זיך איבער א פֿונקצע $f(x)$ בײַ $x=x_{1}$ און $x=x_{2}$ האָט דעם באַרגנייג

${\begin{aligned}a(x_{1},x_{2})&={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\end{aligned}}$

ווען $x_{1},x_{2}$ זענעך נאָענט איז $a(x_{1},x_{2})$ בערך דער באַרגנייג אויף דער באַריר־לינע. באַניצנדיק קאַלקולוס קענען מיר ניצן א גרעניץ כּדי גורם זײַן $x_{2}\to x_{1}$. בכן איז $a=a(x_{1})$ אַן איינבאַטרעפֿיקע פֿונקציע. מ'רופֿט $a(x)$ דעם דעריוואַטיוו פֿון $f(x)$.

דער דעריוואַטיוו ווערט אָנגעשריבן אין מאַטעמאַטישער נאָטאַציע ווי $f'(x)$ צי ${\frac {d}{dx}}f(x)$. טאָ מע שרײַבט:

${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{x_{2}\to x}{\frac {f(x)-f(x_{2})}{x-x_{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\end{aligned}}$

די לעצטע שורה ניצט דעם אונטערשטעל $x-x_{2}=h$.

דעריוואַטיוו טעאָרעמען

פאַראַן כּלערליי כּללים וואָס העלפֿן אונדז צו געפֿינען דעם דעריוואַטיוו.

כּפֿלען מיט א שטענדיקע גרייס

אויב מיר ווילן דיפֿערענצירן א פֿונקציע מאָל אַ שטענדיקע גרייס:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(cf(x))=cf'(x)\end{aligned}}$

סך־הכּל־כּלל

אויב מיר ווילן דיפֿערענצירן א פֿונקציע פּלוס אַ פֿונקציע ניצט מען דעם סך־הכּל־כּלל:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left(f(x)+g(x)\right)=f'(x)+g'(x)\end{aligned}}$

קייט־כּלל

אויב מיר ווילן דיפערענצירן א פֿונקציע פֿון א פֿונקציע ניצט מען דעם קייט־כּלל:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)\end{aligned}}$

פּראָדוקט־כּלל

אויב מיר ווילן דיפערענצירן אַ פראָדוקט פֿון צוויי פֿונקציעס ניצט מען דעם פּראָדוקט־כּלל:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}f(x)g(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\end{aligned}}$

בײַשפּילן

קוואַדראַטישע פֿונקציע

בדרך משל לאָמיר דיפערענצירן א פראָסטע פֿונקציע: $f(x)=x^{2}$ ניצנדיק דער דעפֿיניציע

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}x^{2}&=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}\\\ &=\lim _{h\to 0}{\frac {(x^{2}+2xh+h^{2})-x^{2}}{h}}\\\ &=\lim _{h\to 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}\\\ &=\lim _{h\to 0}(2x+h)\\\ &=2x\end{aligned}}$

אָדער זינט ${\frac {d}{dx}}x=1$ (זעט „דעפֿיניציע“ אין דער הייך), פּראָדוקט־כּלל באַווייזט

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}x^{2}&={\frac {d}{dx}}(x\cdot x)\\\ &=\left({\frac {d}{dx}}x\right)x+x\left({\frac {d}{dx}}x\right)\\\ &=(1)x+x(1)\\\ &=2x\\\end{aligned}}$

קוואַדראַט־וואָרצל

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}{\sqrt {x}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}\\\ &=\lim _{h\to 0}\left({\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}\cdot {\frac {{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}\right)\\\ &=\lim _{h\to 0}{\frac {x+h-x}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}\\\ &=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}\\\ &={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\\\end{aligned}}$