לאגאריטם

דער גראפיק פונעם לאגאריטם צו באזע 2 גייט אריבער דער x אַקס (האריזאנטאלע אַקס) ביי 1 און גייט אדורך די פונקטן מיט קאארדינאטן (2, 1), (4, 2), און (8, 3). צום ביישפיל, log₂(8) = 3, ווייל 2³ = 8. דער גראפיק ווערט וואס נענטער צו דער y אַקס, אבער דערגרייכט זי נישט און גייט נישט אריבער איר.

דער לאגאַריטם פון א נומער איז דער פאטענץ מיט וואס א געוויסער נומער, די באזע, דארף ווערן געהעכערט צו פראדוצירן יענעם נומער. למשל, דער לאגאריטם פון 1000 צו באזע 10 איז 3, ווייל 1000 איז 10 צום פאטענץ 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 10³. בדרך כלל, אז x = b^y, דעמאלסט y איז דער לאגאריטם פון x צו באזע b, און מען שרייבט (y = log_b(x. אין דעם פריערדיקן ביישפיל, log₁₀(1000) = 3.

געזעצן פון לאגאריטמען

די געזעצן אונטן האלטן פאר יעדער $\ a, b, c$ וואס זענען פאזיטיווע רעאלע צאלן, אבער די באזע פון די לאגאריטמען קען נישט זיין 1. פראקטיש ניצט מען א באזע גרעסער פון 1.

באזונדערע ווערטן	$\ \log _a (1)=0$ $\ \log _a (a)=1$
טאפלונג, צעטיילונג און אויפהייבן צו א פאטענץ די געזעצן מאכן גרינגער אויסרעכענען טאפלונג, צעטיילונג, פאטענצן און ווארצלען, דורך א טאבעלע פון לאגאריטמען אדער א רעכנווירע.	$\ \log _c (a\cdot b) = \log _c (a) + \log _c (b)$ $\ \log _c \left(\frac{a}{b}\right) = \log _c (a) - \log _c (b)$ $\ {\log_a b}\cdot{\log_c d}={\log_c b}\cdot{\log_a d}$ פאר יעדער רעאל $\ r$ : $\ \log _c (a^r) = r\cdot \log _c (a)$
לאגאריטם און די עקספאנענטיעלע פונקציע מען ניצט די כללים צו לייזן גלייכונגען וואו דער אומבאשטימטער איז א פאטענץ.	$\ x^{\log_a b}=b^{\log_a x}$ $\ a^{\log_a b}=b$ פאר יעדער רעאל $\ r$: $\ \log_a a^r=r$
עדערן די באזע פון א לאגאריטם מען ניצט דעם כלל צו בייטן לאגאריטנמען אין א רעכנמאשינקע. רוב רעכנמאשינקעס האבן קנעפלעך פארן נאטירלעכן לאגאריטם (ln) און פארן לאגאריטם צו באזע 10 ($\ \log_{10}$), אבער נישט פאר באזע 2 ($\ \log_{2}$). כדי צו רעכענען $\ \log_{2} 100$, רעכנט מען $\ \frac{\log_{10} 100}{\log_{10} 2}$ אדער $\ \frac{\ln{100}}{\ln{2}}$, וואס גיט דעם זעלבן רעזולטאט).	$\ \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$ $\ \log_a b=\frac{1}{\log_b a}$
גרענעץ	ווען a > 1: $\ \lim_{x\to0} \log_a (x) = -\infty$ ווען a < 1: $\ \lim_{x\to0} \log_a (x) = \infty$ ווען a > 1: $\ \lim_{x\to\infty} \log_a (x) = \infty$ ווען a < 1: $\ \lim_{x\to\infty} \log_a (x) = -\infty$ $\ \lim_{x\to0} \log_a (x) \cdot x^b = 0$ $\ \lim_{x\to\infty} \log_a (x) / x^b = 0$
דעריוואטיוו	$\ {d \over dx} \log_a (x) = {1 \over x \ln(a)} = {1 \over x} \cdot \log_a e$
אינטעגראל	$\ \int \log_a (x)\, dx = x \log_a (x) - \frac{x}{\ln(a)} + C$